Procédures de calibration photométrique

Alain KLOTZ
Mise à jour 15/12/1999

1. Généralités

Calibrer les images photométriquement consiste à déterminer la relation qui permet de convertir les flux stellaires en magnitudes. On peut ainsi diffuser des résultats dans un système standard d'éclairements, les magnitudes, compréhensible par l'ensemble de la communauté scientifique (application aux étoiles variables en général). Le but de cet exposé concerne la détermination de la valeur des coefficients des équations dites de "passage" entre les pas codeurs (la mesure sur l'image) et les magnitudes (la grandeur physique associée aux étoiles). Mais de quels coefficients parlons-nous ? Nous commençerons par introduire les notations qui seront employées dans cet exposé avant de s'intéresser à la méthode observationnelle et à la détermination des coefficients.

On pourra ausii consulter une page spéciale donnant quelques repères sur la photométrie.

1.1. Les notations

On notera en Vi, Ri et Ii, les magnitudes calculées dans les bandes passantes des filtres instrumentaux (ceux utilisés lors de l'observation). Les magnitudes (VRI)i se calculent tout simplement par les formules de Pogson :
Vi = -2.5*log(FVi)
 Ri = -2.5*log(FRi)
 Ii = -2.5*log(FIi)

Les logarithmes sont en base 10. FVi est le flux total (en pas codeurs) c'est à dire intégré sur toute l'étoile sur l'image filtrée V. De même FRi et FIi représentent les flux instrumentaux mesurés sur les images filtrées R et I respectivement. Le but de l'exposé ne concernant pas la mesure elle même du flux instrumental on se référera pour cela aux logiciels d'analyse d'image qui fournissent Fi pour chaque image filtrée. On va chercher convertir les magnitudes instrumentales en magnitudes du système standard.

On notera Vs, Rs et Is, les magnitudes calculées, ou tirées des catalogues, dans les bandes passantes du système standard.

Enfin, on note X, la masse d'air de l'étoile au moment de la prise d'image.

1.2. La base théorique

La méthode proposée ici pour calculer les magnitudes standard à partir des flux instrumentaux est appelée, photométrie ratachée. Elle ne constitue pas une méthode rigoureuse, mais elle a été élaborée pour rester simple et rapide. Le système d'équations de passage que nous proposons est fonction du nombre de filtres utilisés pour l'observation. On distingue ainsi le cas à 2 filtres VR et le cas à 3 filtres VRI.

On se propose de modéliser les relations de passage du système instrumental (VRI)i au système standard (VRI)s par les équations suivantes (Buil 1990) :
 

Cas à trois filtres : VRI cas à deux filtres : VR
Vi = Vs + a0 + a1*(V-R)s + a2*X - 2.5 log(tv) 
Ri = Rs + b0 + b1*(R-I)s + b2*X - 2.5 log(tr) 
Ii = Is + c0 + c1*(R-I)s + c2*X - 2.5 log(ti)
Vi = Vs + a0 + a1*(V-R)s + a2*X - 2.5 log(tv) 
Ri = Rs + b0 + b1*(V-R)s + b2*X - 2.5 log(tr)

Prenons le cas de l'équation de Vi pour le cas à deux filtres VR et analysons la justification du choix de ce modèle. La magnitude instrumentale mesurée Vi est égale à la magnitude standard Vs corrigée d'abord par une constante additive (a0). Cette constante inclue la réponse du CCD (gain, etc.) et la transparence du ciel. Aisni, a0, appelée aussi contante des magnitude, varie d'une nuit à l'autre mais est aussi fonction de la caméra et de l'optique. Comme le filtre instrumental utilisé n'est pas exactement le même que le filtre V standard (en terme de transmission et de réponse spectrale), on tient compte de cet effet en ajoutant un terme linéaire (a1) fonction de l'indice de couleur (V-R) de l'étoile observée. Cet effet de "mélange" est une constante instrumentale et ne varie pas d'une nuit à l'autre (sauf vieillissement du filtre, changement de CCD ou d'optique). De plus, on tient compte de l'extinction atmosphérique par le terme linéaire (a2) fonction de la masse d'air. Cette donnée varie d'une nuit à l'autre et même parfois à l'intérieur d'une même nuit. Enfin, il faut tenir compte du temps de pose (tv) et comme le détecteur CCD a une réponse linéaire, on peut ainsi ajouter un terme correctif simple.

En résumé, on a modélisé les termes suivants :

De même pour les autres couleurs, on retrouve les mêmes modèles.

2. Observations à effectuer

D'un point de vue mathématique, la détermination des coefficients exige au moins d'effectuer des poses à deux hauteurs différentes pour mesurer l'effet de l'extinction. De plus, pour déterminer le coefficient de mélange, il faut observer deux étoiles standard d'indice de couleur différents.

Les champs d'étoiles standard seront choisis parmi ceux proposes par le catalogue de Loneos ou bien dans les amas d'étoiles M 67, M92 et Ngc 7790. Les données de ces catalogues sont contenues dans la compilation Microcat. Le système photométrique utilisé est celui de Cousin.

2.1. Méthode à un champ de calibration

Pour chaque filtre, on aura à mesurer le flux de deux étoiles, indicées 1 et 2, dans une image A d'un champ à proximité de celui contenant l'étoile à mesurer. Dans le cas de la photométrie à 2 filtres RV, sur le champ contenant les 2 étoiles standard, on mesure ainsi 4 flux instrumentaux : FV1A, FV2A, FR1A, FR2A. Le choix des deux étoiles doit être fait de façon à se que l'une d'entre elle soit de couleur plutôt rouge et l'autre soit de couleur plutôt bleue.

Les temps de pose peuvent être quelconque mais doivent être connus. Les deux champs doivent avoir une différence de hauteur sur l'horizon inférieure à 5 degrés pour une hauteur supérieure à 45 degrés. Cette étendue de resserre pour des hauteurs plus basses (2 degrés pour h=30 degrés). De même, les deux champs devront être choisis à une différence d'azimuth inférieure à 20 degrés de façon à s'affranchir des problèmes de variation d'extinction spatiale.

Cette méthode permet de s'affranchir du calcul des coefficients d'extinction a2 et b2. Il convient seulement, de bien choisir le champ de calibration pour qu'il soit à la même hauteur que le champ contenant l'étoile à mesurer. Il faut aussi effectuer les images du champ de calibration juste avant ou juste apres celui contenant l'étoile à mesurer de façon à s'affranchir des variations des conditions météorologiques.

Il n'est pas toujours possible de trouver un champ de calibration à moins de quelques degrés de celui contenant l'étoile à mesurer. Néanmoins, le catalogue Loneos permet quelques fois ce genre de conditions et d'appliquer cette méthode à un seul champ de calibration. Si l'on ne trouve pas de champ de calibration à proximité de celui contenant l'étoile à mesurer, il faut effectuer une calibration par la méthode à deux champs.

2.2. Méthode à deux champs de calibration

Pour chaque filtre, on aura à mesurer le flux de deux étoiles, indicées 1 et 2, dans deux images A et B de champs différents pris à deux hauteurs différentes (au moins 20 degrés de différence de hauteur si possible). Dans le cas de la photométrie à 2 filtres RV, on mesure ainsi 8 flux instrumentaux : FV1A, FV2A, FV1B, FV2B, FR1A, FR2A, FR1B, FR2B.

Les temps de pose peuvent être quelconque mais doivent être connus. Les notations XA, XB et X de la figure correspondent aux masses d'air.

La méthode à deux champs permet de mesurer les coefficients de calibration en moins d'une heure. Les mesures photométriques seront alors effectuées juste avant ou juste après la séquence d'images de calibration sur les deux champs. De ce fait, elle est peu sensible aux variations des conditions météorologiques.
 

3. Application de la calibration par la méthode à un champ

Au regard des formules du modèle on peut établir un formulaire pour retrouver les coefficients photométriques à partir des flux instrumentaux. La présentation suivante est conçue pour remplir les cases à chaque étape. ce processus peut alors facilement être programmée sous un tableur ou être intégré dans un logiciel de traitement d'image.

3.1. Cas à 2 filtres VR :

Le formulaire suivant permet de cheminer progressivement vers la détermination des valeurs des coefficients. Il suffit de remplir les cases de droite par la valeur mesurée ou calculée par la formule
 

3.1.1. Identification des deux étoiles de calibration

On choisira les deux étoiles de façon à ce qu'elle aient des indices de couleur (V-R) très différents.
 
étoiles standard 1 et 2
magnitude
Vs1
 
Rs1
 
(V-R)s1
 
Vs2
 
Rs2
 
(V-R)s2
 

3.1.2. Mesure des flux

Ces mesures sont effectuées par une photométrie d'ouverture à l'aide d'un logiciel de traitement d'image.
 
flux
pas codeurs
FV1A
 
FV2A
 
FR1A
 
FR2A
 

3.1.3. Calcul des magnitudes instrumentales

Attention, dans ce calcul, le logarithme est décimal !
flux
magnitude
Vi1A = -2.5 log (FV1A)
 
Vi2A = -2.5 log (FV2A)
 
Ri1A = -2.5 log (FR1A)
 
Ri2A = -2.5 log (FR2A)
 

3.1.4. Calcul des coefficients de mélange

coefficient de mélange
(sans dimension)
a1 = [(Vi1A-Vi2A) - (Vs1-Vs2)] / [(V-R)s1 - (V-R)s2]
 
b1 = [(Ri1A-Ri2A) - (Rs1-Rs2)] / [(V-R)s1 - (V-R)s2]
 

On détermine ainsi la valeur de a1 pour le filtre V et b1 pour le filtre R. Ces valeurs ne doivent pas changer significativement au cours de la nuit, ni d'une nuit sur l'autre.

3.1.5. Calcul des constantes de magnitude

Soient tVA, tVB, tRA et tRB les temps de pose exprimés en seconde.
 
constante des magnitudes
magnitude par seconde
a01A = Vi1A + 2.5 log(tVA) - Vs1 - a1(V-R)s1
 
a02A = Vi2A + 2.5 log(tVA) - Vs2 - a1(V-R)s2
 
 a0 = (a01A + a02A) / 2
 

Théoriquement, les valeurs de a0A1, a0A2 doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. La constante des mangitudes finale est prise égale à la moyenne des deux valeurs.

De même pour la constante des mangitudes du filtre R :
 

constante des magnitudes
magnitude par seconde
b01A = RiA1 + 2.5 log(tRA) - Rs1 - b1(V-R)s1
 
b02A = RiA2 + 2.5 log(tRA) - Rs2 - b1(V-R)s2
 
 b0 = (b01A + b02A) / 2
 

3.1.6. Synthèse des résultats

On reportera, dans ce tableau, les six valeurs des constantes de calibration photométrique (a2 et b2 sont prises égales à zéro dans cette méthode).
 
a0
 
a1
 
a2
b0
 
b1
 
b2
 0

 

4. Application de la calibration par la méthode à deux champs

Au regard des formules du modèle on peut établir un formulaire pour retrouver les coefficients photométriques à partir des flux instrumentaux. La présentation suivante est conçue pour remplir les cases à chaque étape. Ce processus peut alors facilement être programmée sous un tableur ou être intégré dans un logiciel de traitement d'image.

4.1. Cas à 2 filtres VR :

Le formulaire suivant permet de cheminer progressivement vers la détermination des valeurs des coefficients. Il suffit de remplir les cases de droite par la valeur mesurée ou calculée par la formule

4.1.1. Identification des quatre étoiles de calibration

Dans chaque champ, on choisira deux étoiles de façon à ce qu'elle aient des indices de couleur (V-R) très différents.
 
 
étoiles standard 1A et 2A
dans le champ A
magnitude
Vs1A
 
Rs1A
 
(V-R)s1A
 
Vs2A
 
Rs2A
 
(V-R)s2A
 
étoiles standard 1B et 2B
dans le champ B
magnitude
Vs1B
 
Rs1B
 
(V-R)s1B
 
Vs2B
 
Rs2B
 
(V-R)s2B
 

4.1.2. Mesure des flux

Ces mesures sont effectuées par une photométrie d'ouverture à l'aide d'un logiciel de traitement d'image.
 
flux
pas codeurs
FV1A
 
FV2A
 
FR1A
 
FR2A
 
FV1B
 
FV2B
 
FR1B
 
FR2B
 

4.1.3. Calcul des masse d'air

Ces mesures sont effectuées connaissant l'instant de prise de vue, les coordonnées du champ visé et les coordonnées géographiques du lieu (cf. levre de Jean Meeus).
Masse d'air
(sans unités)
XA
 
XB
 

4.1.4. Calcul des magnitudes instrumentales

Attention, dans ce calcul, le logarithme est décimal !
flux
magnitude
Vi1A = -2.5 log (FV1A)
 
Vi2A = -2.5 log (FV2A)
 
Ri1A = -2.5 log (FR1A)
 
Ri2A = -2.5 log (FR2A)
 
Vi1B = -2.5 log (FV1B)
 
Vi2B = -2.5 log (FV2B)
 
Ri1B = -2.5 log (FR1B)
 
Ri2B = -2.5 log (FR2B)
 

4.1.5. Calcul des coefficients de mélange

coefficient de mélange
(sans dimension)
a1A = [(Vi1A-Vi2A) - (Vs1A-Vs2A)] / [(V-R)s1A - (V-R)s2A]
 
a1B = [(Vi1B-Vi2B) - (Vs1B-Vs2B)] / [(V-R)s1B - (V-R)s2B]
 
a1 = (a1A + a1B) / 2
 
b1A = [(Ri1A-Ri2A) - (Rs1A-Rs2A)] / [(V-R)s1A - (V-R)s2A]
 
b1B = [(Ri1B-Ri2B) - (Rs1B-Rs2B)] / [(V-R)s1B - (V-R)s2B]
 
b1 = (b1A + b1B) / 2 
 

Théoriquement, les valeurs de a1A et a1B doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. Le coefficient final est pris égal à la moyenne des deux champs.
On détermine ainsi la valeur de a1 pour le filtre V et b1 pour le filtre R.

4.1.6. Calcul des coefficients d'extinction

Soient XA et XB les masses d'air (calculées en 4.1.1.3). Soient tVA, tVB, tRA et tRB les temps de pose.
 
coefficient d'extinction
magnitude par unité de masse d'air
a21 = [(Vi1A-Vi1B)-(Vs1A-Vs1B)-((V-R)s1A - (V-R)s1B)+2.5 log(tVA/tVB)] / (XA-XB)
 
a22 = [(Vi2A-Vi2B)-(Vs2A-Vs2B)-((V-R)s2A - (V-R)s2B)+2.5 log(tVA/tVB)] / (XA-XB)
 
a2 = (a21 + a22) / 2
 
b21 = [(Ri1A-Ri1B)-(Rs1A-Rs1B)-((V-R)s1A - (V-R)s1B)+2.5 log(tRA/tRB)] / (XA-XB)
 
b22 = [(Ri2A-Ri2B)-(Rs2A-Rs2B)-((V-R)s2A - (V-R)s2B)+2.5 log(tRA/tRB)] / (XA-XB)
 
 b2 = (b21 + b22) / 2
 

Théoriquement, les valeurs de a21 et a22 doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. Le coefficient final est pris égal à la moyenne des deux étoiles.
On détermine ainsi la valeur de a2 pour le filtre V et b2 pour le filtre R. Normalement, a2 > b2 > 0.
 

4.1.7. Calcul des constantes de magnitude

Soient tVA, tVB, tRA et tRB les temps de pose exprimés en seconde.
 
constante des magnitudes
magnitude par seconde
a01A = Vi1A + 2.5 log(tVA) - Vs1A - a1(V-R)s1A - a2 XA
 
a02A = Vi2A + 2.5 log(tVA) - Vs2A - a1(V-R)s2A - a2 XA
 
a01B = Vi1B + 2.5 log(tVB) - Vs1B - a1(V-R)s1B - a2 XB
 
a02B = Vi2B + 2.5 log(tVB) - Vs2B - a1(V-R)s2B - a2 XB
 
 a0 = (a01A + a02A + a01B + a02B) / 4
 

Théoriquement, les valeurs de a0A1, a0A2, a0B1 et a0B2 doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. La constante des mangitudes finale est prise égale à la moyenne des quatre valeurs.

De même pour la constante des mangitudes du filtre R :
 

constante des magnitudes
magnitude par seconde
b01A = RiA1 + 2.5 log(tRA) - Rs1A - b1(V-R)s1A - b2 XA
 
b02A = RiA2 + 2.5 log(tRA) - Rs2A - b1(V-R)s2A - b2 XA
 
b01B = RiB1 + 2.5 log(tRB) - Rs1B - b1(V-R)s1B - b2 XB
 
b02B = RiB2 + 2.5 log(tRB) - Rs2B - b1(V-R)s2B - b2 XB
 
 b0 = (b01A + b02A + b01B + b02B) / 4
 

4.1.8. Synthèse des résultats

On reportera, dans ce tableau, les six valeurs des constantes de calibration photométrique.
 
a0
 
a1
 
a2
 
b0
 
b1
 
b2
 

 

5. Calculs de la magnitude standard d'étoiles

Au regard des formules du modèle on peut établir un formulaire pour retrouver les coefficients photométriques à partir des flux instrumentaux. La présentation suivante est conçue pour remplir les cases à chaque étape. ce processus peut alors facilement être programmée sous Excell ou être intégré dans un logiciel de traitement d'image.

5.1. Cas à 2 filtres VR :

On suppose connues les valeurs des coefficients de calibration a0, a1, a2, b0, b1, b2. Le formulaire suivant permet de cheminer progressivement vers la détermination des valeurs des coefficients. Il suffit de remplir les cases de droite par la valeur mesurée ou calculée par la formule

5.1.1. Mesure des flux

Ces mesures sont effectuées par une photométrie d'ouverture à l'aide d'un logiciel de traitement d'image sur les deux images filtrées V et R.
 
filtre
Flux en pas codeurs
temps de pose (s)
V
FVi = 
tV = 
R
FRi = 
tR = 

5.1.2. Calcul de la masse d'air

Ce calcul n'est utile que pour la méthode à deux champs. Ces calculs sont effectués connaissant l'instant de prise de vue, les coordonnées du champ visé et les coordonnées géographiques du lieu (cf. livre de Jean Meeus).
 
Masse d'air
(sans unités)
XV
 
XR
 

5.1.3. Calcul des magnitudes instrumentales

Attention, dans ce calcul, le logarithme est décimal !
 
flux
magnitude / s
Vi = -2.5 log (FVi) + 2.5 log (tV)
 
Ri = -2.5 log (FRi) + 2.5 log (tR)
 

5.1.4. Calcul des magnitudes rattachées

 
magnitude
Y1 = (Vi - a0 - a2 XV) 
 
Y2 = (Ri - b0 - b2 XR)
 

A noter que dans la méthode à un champ, on peut supprimer les termes a2 XV et b2 XR puisque a2 et b2 vallent zéro).
 

magnitudes rattachées
magnitude
Rs = (Y2 + Y2*a1 - Y1*b1) / (1 + a1 - b1) 
 
Vs = (Y1 - Y1*b1 + Y2*a1) / (1 + a1 - b1)
 

Les valeurs de Rs et Vs sont le résultat final de l'analyse photométrique.
 

5.2. Cas à 3 filtres VRI :

Le formulaire suivant permet de cheminer progressivement vers la détermination des valeurs des coefficients. Il suffit de remplir les cases de droite par la valeur mesurée ou calculée par la formule

5.2.1. Mesure des flux

Ces mesures sont effectuées par une photométrie d'ouverture à l'aide d'un logiciel de traitement d'image sur les deux images filtrées V et R.
 
filtre
Flux en pas codeurs
temps de pose (s)
V
FVi = 
tV = 
R
FRi = 
tR = 
I
FIi =
tI =

5.2.2. Calcul de la masse d'air

Ces mesures sont effectuées connaissant l'instant de prise de vue, les coordonnées du champ visé et les coordonnées géographiques du lieu (cf. livre de Jean Meeus).
 
Masse d'air
(sans unités)
XV
 
XR
 
XI
 

5.2.3. Calcul des magnitudes instrumentales

Attention, dans ce calcul, le logarithme est décimal !
 
flux
magnitude / seconde
Vi = -2.5 log (FVi) + 2.5 log (tV)
 
Ri = -2.5 log (FRi) + 2.5 log (tR)
 
Ii = -2.5 log (FIi) + 2.5 log (tI)
 

5.2.4. Calcul des magnitudes rattachées

 
magnitude
Y1 = (Vi - a0 - a2 XV) 
 
Y2 = (Ri - b0 - b2 XR)
 
Y3 = (Ii - c0 - c2 XI)
 
magnitudes rattachées
magnitude
Is = (Y3 + Y3*b1 - Y2*c1) / (1 + b1 - c1) 
 
Rs = (Y2 - Y2*c1 + Y3*b1) / (1 + b1 - c1)
 
Vs = (Y1 + Rs*a1) / (1 + a1)
 

Les valeurs de Is, Rs et Vs sont le résultat final de l'analyse photométrique.